一维空间中具有空间集中非线性的 NLS 方程：点状极限

本文研究如下的一维空间缩放非线性薛定谔方程 (NLS)：$$i\frac{d}{dt} \psi^{\varepsilon}(t) =-\Delta\psi^{\varepsilon}(t) + \frac{1}{\epsilon}V\left(\frac{x}{\epsilon}\right)|\psi^{\varepsilon}(t)|^{2\mu}\psi^{\varepsilon}(t) \quad \quad \epsilon>0\ ,\quad V\in L^1(\mathbb{R},(1+|x|)dx) \cap L^\infty(\mathbb{R})\ .$$ 该方程代表具有空间集中非线性的非线性薛定谔方程。我们证明，在极限 $\epsilon\to 0$ 下，弱（积分）动力学在 $H^1(\mathbb{R})$ 中收敛于具有点集中非线性的 NLS 的弱动力学：$$i\frac{d}{dt} \psi(t) =H_{\alpha}\psi(t)\ .$$ 其中 $H_{\alpha}$ 是拉普拉斯算子，其在原点处具有非线性边界条件 $\psi'(t,0+)-\psi'(t,0-)=\alpha|\psi(t,0)|^{2\mu}\psi(t,0)$，且 $\alpha=\int_{\mathbb{R}}Vdx$。若 $V \geq 0$，则对任意 $\mu\in \mathbb{R}^+$ 收敛成立；否则对任意 $\mu\in (0,1)$ 收敛成立。对于具有任意数量 $N$ 个集中点的非线性情形，同样结果成立。