连续极限下周期分数阶离散 NLS 的动力学

本文从解析和动力学角度，通过改变网格尺寸 $h>0$ 和非局部 Lévy 指数 $\alpha \in (0,2]$，研究了周期晶格上的分数阶离散非线性 Schrödinger 方程 (fDNLS)。我们利用离散周期 Strichartz 估计，直接计算 $L^2(\mathbb{T})$ 中离散解与连续解之间的差值，证明了当 $h \rightarrow 0$ 时，该离散系统在能量空间以下收敛于分数阶 NLS。在能量空间中，通过有限差分法 (FDM) 得到的精确收敛率为 $O(h^{\frac{\alpha}{2+\alpha}})$。为了进一步阐明 fDNLS 的收敛行为，我们在调制不稳定性的背景下考察了连续波 (CW) 解的各种动力学行为，强调了由非局部晶格耦合表征的线性色散（或晶格衍射）与非线性之间的相互作用。特别地，通过解析和数值方法展示了当 $h \rightarrow 0$ 时，最大增益 $\Omega_m$ 对 CW 解振幅 $A$ 的依赖关系由线性向二次的转变。