具有非局域相互作用的系统中的离散孤子波与 Peierls-Nabarro 势垒

我们研究了一类具有一般非局域相互作用的离散聚焦非线性薛定谔方程（DNLS）。我们证明了 onsite 和 offsite 离散孤子波的存在性，它们从线性色散波连续谱端点频率处的平凡解分岔而来。我们还证明了 Peierls-Nabarro 能量势垒（PNB）在频率-到分岔点的距离意义上的指数级小性，该势垒由 onsite 和 offsite 态上计算的哈密顿量或质量泛函的差值度量。这些结果将作者先前针对最近邻相互作用的情况扩展到了一大类非局域短程和长程相互作用。不同的 onsite 和 offsite 态的出现是连续空间平移不变性破缺的结果。PNB 在此类非线性哈密顿晶格系统的能量输运动力学中起作用。我们的非局域相互作用类由耦合系数 $J_m$ 定义，其中 $m\in\mathbb{Z}$ 为格点指标，且 $J_m\simeq m^{-1-2s}, s\in[1,\infty)$ 以及 $J_m\sim e^{-\gamma|m|},\ s=\infty,\ \gamma>0,$（Kac-Baker）。对于 $s\ge1$，分岔由（有效/均匀化）三次聚焦非线性薛定谔方程（NLS）的解引发。然而，对于 $1/4<s<1$，分岔由分数非线性薛定谔方程 FNLS 控制，其中 $(-\Delta)^s$ 替代 $-\Delta$。证明基于应用于动量空间公式的 Lyapunov-Schmidt 约化策略。PN 势垒边界需要对 DNLS 离散孤子波的离散傅里叶变换的适当一致衰减估计。FNLS 基态的非简并性也起着关键作用，该性质最近由 Frank, Lenzmann & Silvestre 证明。