带导数的非线性 Schrödinger 方程的孤立波

在本文中，我们通过结构分析和变分论证刻画了带导数的非线性 Schrödinger 方程 (DNLS) 的一族孤立波。由于 (DNLS) 不再具有伽利略不变性，这里的结构分析与非平凡动量密切相关，并展示了拟线性方程与半线性方程之间非平凡解的等价性。首先，对于次临界参数 $4\omega>c^2$ 和临界参数 $4\omega=c^2, c>0$，我们证明了在相差相位旋转和空间平移对称性下，(DNLS) 孤立波的存在性与唯一性。其次，对于临界参数 $4\omega=c^2, c\leq 0$ 和超临界参数 $4\omega<c^2$，(DNLS) 不存在非平凡的孤立波。最后，我们利用与孤立波变分刻画相关的不变集，对于初始数据在不变集 $\mathcal{K}^+_{\omega,c}\subseteq H^1(\R)$ 中且满足 $4\omega=c^2, c>0$ 或 $4\omega>c^2$ 的 (DNLS)，获得了其解的全局存在性。一方面，与 \cite{Dod:NLS_sct} 中 $L^2$-临界 NLS 的散射结果不同，由于在 $\mathcal{K}^+_{\omega,c}$ 中（满足 $4\omega=c^2, c>0$ 或 $4\omega>c^2$）存在无穷多小的孤立/行波，(DNLS) 对于 $\mathcal{K}^+_{\omega,c}$ 中的初始数据不成立散射结果。另一方面，我们的全局结果改进了 \cite{Wu-DNLS, Wu-DNLS2} 中的全局结果（见推论 \ref{cor:gwp}）。