牛顿摆中的非线性波与离散p-Schrödinger方程

我们研究了牛顿摆中的非线性波，这是一个经典的力学系统，由连接在线性摆上的珠子链组成，并通过赫兹接触力进行非线性相互作用。我们形式化地推导了一个空间离散的调制方程，用于描述小振幅非线性波，这些波由时间周期线性振荡的慢调制构成。珠子之间的完全非线性和单边相互作用产生了一个非标准的调制方程，我们称之为离散p-Schrödinger (DpS) 方程。它包含了一个带有p-Laplacian的广义Schrödinger方程的空间离散化，其中分数指数p>2取决于赫兹接触力的指数。我们证明了DpS方程存在显式的周期行波解，并通过数值方法发现了由离散映射轨道给出的多种驻波解，特别是空间局域的呼吸子解。利用修正的Lyapunov-Schmidt技术，我们证明了在珠子链中存在精确的周期行波，这些行波接近由DpS方程给出的小振幅调制波。通过数值模拟，我们表明DpS方程捕捉了弱非线性区域动力学的其他几个重要特征，即调制不稳定性、静态和移动呼吸子的存在，以及这些局域结构的排斥或吸引相互作用。