带导数非线性薛定谔方程退化孤子的不稳定性

我们考虑如下带导数的非线性薛定谔方程：\begin{equation} iu_t =-u_{xx} -i |u|^{2}u_x -b|u|^4u , \quad (t,x) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}, \ b \in\mathbb{R}. \end{equation} 若 $b=0$，该方程是著名的导数非线性薛定谔（DNLS）方程的规范等价形式。DNLS 的孤子剖面满足某个具有三次-五次非线性的双幂椭圆方程。我们方程中的五次非线性仅影响椭圆方程中五次项前的系数，因此在这种意义下，附加非线性作为保持 DNLS 孤子剖面的扰动是自然的。当 $b\ge 0$ 时，方程具有动量和能量均为零的退化孤子，若 $b=0$，它们为代数孤子。受 $L^2$-临界广义 KdV 方程不稳定性理论相关工作的启发，我们以定性方式研究退化孤子的不稳定性，且当 $b>0$ 时，得到了一大类导致不稳定性的初值数据。我们证明中除一步外的论证对 $b=0$ 的情形以完全相同的方式成立，这是理解 DNLS 方程代数孤子附近动力学的一小步。