导数型非线性 Schrödinger 方程代数孤子稳定性：变分方法

我们考虑如下导数型非线性 Schrödinger 方程：\begin{equation} i \partial_t u + \partial_x^2 u +i |u|^{2} \partial_x u +b|u|^4u=0 , \quad (t,x) \in \mathbb{R}\times\mathbb{R}, \ b \in \mathbb{R}. \end{equation} 若 $b=0$，该方程是著名的导数非线性 Schrödinger（DNLS）方程的规范等价形式。DNLS 方程的孤子剖面满足一个具有三次-五次非线性的特定双幂椭圆方程。方程中的五次非线性仅影响椭圆方程中五次项前的系数，因此该附加非线性作为保持 DNLS 方程孤子剖面的扰动是自然的。若 $b>-\frac{3}{16}$，方程既有代数孤子也有指数衰减孤子。本文中我们通过变分方法研究孤子的稳定性性质，并证明若 $b<0$，所有孤子（包括代数孤子）在能量空间中都是稳定的。稳定代数孤子的存在给出了一个有趣的数学例子，因为在相应的双幂 NLS 背景下尚不知有稳定代数孤子。