$\mathbb R^n$ 中带时间相关阻尼的可压缩欧拉方程的最优衰减率：(II) 过阻尼情形

本文研究 $\mathbb R^n$ 中带形如 $-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho\boldsymbol u$ 的时间相关过阻尼的多维可压缩欧拉方程，其中 $n\ge2$、$\mu>0$、$\lambda\in[-1,0)$。这延续了我们此前处理 $\lambda\in[0,1)$ 欠阻尼情形的工作。我们给出解的最优衰减估计：对 $\lambda\in(-1,0)$ 且 $n\ge2$，有 $\|\rho-1\|_{L^2(\mathbb R^n)}\approx(1+t)^{-\frac{1+\lambda}{4}n}$ 与 $\|\boldsymbol u\|_{L^2(\mathbb R^n)}\approx (1+t)^{-\frac{1+\lambda}{4}n-\frac{1-\lambda}{2}}$，这表明较强阻尼导致解以最优方式更慢衰减。对 $\lambda=-1$ 的临界情形，我们证明阻尼欧拉方程密度扰动的优化对数衰减：$\|\rho-1\|_{L^2(\mathbb R^n)}\approx |\ln(e+t)|^{-\frac{n}{4}}$ 与 $\|\boldsymbol u\|_{L^2(\mathbb R^n)}\approx (1+t)^{-1}\cdot|\ln(e+t)|^{-\frac{n}{4}-\frac{1}{2}}$（$n\ge7$）。过阻尼效应使解衰减率变慢，这给借助傅里叶分析法与格林函数法获取最优衰减率带来了技术困难。此处我们提出一种新思路，通过巧妙结合格林函数法与时间加权能量法来克服该困难。