$\mathbb R^n$ 中带时间相关阻尼的可压缩欧拉方程的最优衰减率：(I) 欠阻尼情形

本文研究 $\mathbb R^n$ 中带形如 $-\frac{\mu}{(1+t)^\lambda}\rho\boldsymbol u$ 的时间相关阻尼的多维可压缩欧拉方程，其中 $n\ge2$、$\mu>0$、$\lambda\in[0,1)$。当 $\lambda>0$ 较大时，阻尼效应在时间渐近上变得更弱，称为欠阻尼。我们给出解的最优衰减估计：$\|\partial_x^\alpha (\rho-1)\|_{L^2(\mathbb R^n)}\approx (1+t)^{-\frac{1+\lambda}{2}(\frac{n}{2}+|\alpha|)}$，且 $\|\partial_x^\alpha \boldsymbol u\|_{L^2(\mathbb R^n)}\approx (1+t)^{-\frac{1+\lambda}{2}(\frac{n}{2}+|\alpha|)-\frac{1-\lambda}{2}}$，并考察欠阻尼效应如何影响欧拉系统的结构。不同于传统认为较强阻尼通常使解衰减更快的观点，此处我们惊奇地认识到，对 $0\le\lambda<1$ 的较弱阻尼反而促使解更快衰减。所采用的方法是精细的傅里叶分析与格林函数法。由时间相关阻尼引起的主要困难有两方面：线性化算子的傅里叶变换不可交换，排除了基本解的显式表达；时间相关演化意味着格林矩阵 $G(t,s)$ 不是平移不变的，即 $G(t,s)\ne G(t-s,0)$。我们给出了线性波动方程与线性双曲组关于 $t$ 和 $s$ 的格林矩阵 $G(t,s)$ 的精确衰减行为，并最终导出非线性欧拉系统的最优衰减率。