拟三角 Hopf 代数上不可约 Yetter-Drinfeld 模的结构

设 $(H,R)$ 是域 $k$ 上的有限维半单且余半单拟三角 Hopf 代数。本文给出 Yetter-Drinfeld 模范畴 ${}_{H}^{H}\mathcal{YD}$ 中不可约对象的结构。设 $H_R$ 为 $(H,R)$ 的 Majid 转置编织群，我们证明 $H_R$ 是余半单的。作为余代数，令 $H_R=D_1\oplus\cdots\oplus D_r$ 为极小 $H$-伴随稳定子余代数的直和。对每个 $i$（$1\leq i\leq r$），我们选取 $D_i$ 的一个极小左余理想 $W_i$，并可定义 $W_i$ 的 $R$-伴随稳定代数 $N_{W_i}$。利用 Ostrik 关于单态范畴上模范畴刻画的定理，我们证明 $V\in{}_{H}^{H}\mathcal{YD}$ 是不可约的当且仅当存在某个 $i$（$1\leq i\leq r$）及一个不可约右 $N_{W_i}$-模 $U_i$，使得 $V\cong U_i\otimes_{N_{W_i}}(H\otimes W_i)$。我们的结构定理推广了 Dijkgraaf-Pasquier-Roche 与 Gould 关于有限群代数上 Yetter-Drinfeld 模的结果。若 $k$ 为特征为某值的代数闭域，我们强调 $R$-伴随稳定代数 $N_{W_i}$ 是一个代数，其每个不可约右模的维数均整除该代数的维数。