关于 $p$-Wasserstein 重心的 $q$-可积性

我们研究了 $N$ 个概率测度在 $\mathbb{R}^d$ 上相对于 $p$-Wasserstein 度量($1<p<\infty$)的重心密度的 $L^q$ 正则性。根据第一作者及其合作者之前的結果，如果一个边际是绝对连续的，那么 $W_p$-重心也是如此。下一个自然问题是：对于任意 $q > 1$，是否也保留 $L^q$ 正则性，就像经典情况($p=2$)中 Agueh--Carlier 所证明的，或者对于 $W_p$-测地线($N=2$)是否成立。我们证明，如果一个边际属于 $L^q$ 且所有边际的支撑满足适当的几何假设，上述情况成立。然而，我们展示，当 $N>2$ 时，可能存在 $W_p$-重心的情况，这些情况不属于 $q$-可积的，即使其中一个边际紧支撑且有界。由此，我们突出了支撑几何在其中的作用。此外，我们提供了 $L^q$ 范数的一般估计，包括对奇点的详细研究，并通过关联的康托尔哈施瓦特势来刻画 $W_p$-重心。最后，我们显式计算了由特殊仿射变换得到的测度的 $W_p$-重心。在这种情况下，在没有额外支撑要求的情况下可实现正则性。