$p$ 范数下 Wasserstein 均值

我们研究 $p$ Wasserstein 度量下 $N$ 个概率测度在 $\mathbb{R}^d$ 上的均值（$1<p<\infty$）。我们证明——$p$ Wasserstein 均值在绝对连续测度上是唯一的，同样绝对连续——$p$ Wasserstein 均值接受多边际表述——最优多边际计划在边际为绝对连续时是唯一的，且为 Monge 形式，其支撑集可明确表示为相对于任意边际空间的图。这是对 Agueh-Carlier 理论 [SIAM J. Math. Anal. 43 (2011), no.2, 904--924] 的扩展，适用于 $p\neq2$ 的指数。关键工具是对从 $N$ 点配置到其 $p$ 均值上的映射的定量注入估计，这在最优多边际计划的支撑集上具有高度非注入性。我们还讨论 $p$ Wasserstein 均值在一维中的统计意义。