通过 Wasserstein 正则化得到的规范重心

我们引入了度量测度空间 $(X, d, {\bf m})$（度量为 $d$，参考测度为 ${\bf m}$）上概率测度 $\mu$ 的重心的弱概念。在最优传输计划由映射给出的假设下，我们证明了我们的重心 $B(\mu)$ 是良定义的；它是 $X$ 上的一个概率测度，支撑在给定测度 $\mu$ 的通常度量重心点集合上。该定义使用了度量空间 $X$ 到其 Wasserstein 空间 $P(X)$ 的规范嵌入，将给定的测度 $\mu$ 前推为 $P(X)$ 上的一个测度。然后我们通过到参考测度 ${\bf m}$ 的 Wasserstein 距离对该测度进行正则化，得到一个在 $X$ 上良定义的唯一测度，支撑在 $\mu$ 的重心点上。我们研究了 $B(\mu)$ 的各种性质。