Wasserstein 重心的分散式算法

在本论文中，我们从计算与统计两方面考虑离散概率测度的 Wasserstein 重心问题。统计方面的重点是估计计算概率分布 Fréchet 均值（重心）给定精度近似所需的测度样本量。对于经验风险最小化方法，我们还研究了正则化问题，并提出了一种新的正则化，其与二次正则化相比有助于更好的复杂度界。计算方面的重点是开发计算 Wasserstein 重心的算法：既可分散式执行的原始与对偶算法。对偶方法的动机是熵正则化 Wasserstein 距离及其导数的对偶形式具有闭式解，而原始形式仅在某些情况下（如高斯测度）有闭式表达。此外，返回熵正则化 Wasserstein 距离对偶表示梯度的对偶预言机，其计算代价比返回熵正则化 Wasserstein 距离梯度的原始预言机更便宜。此时对偶预言机的调用次数也更少，即原始预言机调用次数的平方根。这解释了用于 Wasserstein 重心问题的一阶对偶方法的成功应用。