双重正则化熵Wasserstein重心

我们研究了一种一般形式的正则化Wasserstein重心，其具备良好的正则性、逼近性、稳定性及（无网格）优化性质。该重心定义为唯一的概率测度，它最小化关于一族给定概率测度的熵最优传输（EOT）代价之和，外加一个熵项。我们将其记为$(\lambda,\tau)$-重心，其中$\lambda$为内部正则化强度，$\tau$为外部正则化强度。该形式对不同的$\lambda,\tau \geq 0$选择可恢复若干先前提出的EOT重心并推广之。首先，尽管——实则由于——被\emph{双重}正则化，我们证明我们的形式在$\tau=\lambda/2$时是去偏的：对于光滑密度，其在（未正则化）Wasserstein重心目标中的次优性量级为熵正则化强度$\lambda^2$，而非一般的$\max\{\lambda,\tau\}$。我们针对各$(\lambda,\tau)$-重心均有闭式解的各向同性高斯情形讨论了此现象。其次，我们证明对$\lambda,\tau>0$，该重心具有光滑密度且在边缘扰动下强稳定。特别地，它可被有效估计：给定各概率测度的$n$个样本，它以$n^{-1/2}$的速率在相对熵下收敛至总体重心。最后，该形式自然适配无网格优化算法：我们提出一种简单的\emph{带噪粒子梯度下降}，其在平均场极限下以指数速率全局收敛至该重心。