Wasserstein 空间重心的不动点方法

设 $\mathcal{P}_{2,ac}$ 为 $\mathbb{R}^d$ 上关于 Lebesgue 测度绝对连续且具有有限二阶矩的 Borel 概率测度集合。我们考虑在 $L_2-$Wasserstein 度量下，寻找一组有限概率测度 $\nu_1,\ldots,\nu_k \in \mathcal{P}_{2,ac}$ 的重心（或 Fr\'echet 均值）的问题。为此，我们引入一个定义在 $\mathcal{P}_{2,ac}$ 上的算子，该算子与将任意 $\mu \in \mathcal{P}_{2,ac}$ 推前到 $\nu_1,\ldots,\nu_k$ 的最优传输映射相关。在非常一般的条件下，我们证明重心必须是该算子的一个不动点，并给出一种迭代过程，它能一致地逼近重心。该方法可有效计算任何位置-散度族（location-scatter family）中的重心，包括高斯情形。在此类情形下，重心必属于该族，因而可由其均值和协方差矩阵刻画。其均值仅是各概率测度均值的加权平均，而协方差矩阵则通过非线性矩阵方程由它们的协方差矩阵 $\Sigma_1,\dots,\Sigma_k$ 刻画。通过数值模拟说明了该迭代过程在此情形下的性能，显示出向重心的快速收敛。