度量空间中经验 barycenter 的集中性
统计理论
2023-03-03 v1 度量几何
概率论
统计理论
摘要
Barycenter（又称 Fréchet 均值）于 1940 年代引入统计学，并在形状统计学领域以及后来的最优传输与矩阵分析中得到推广。它们提供了线性平均在非欧几何中最自然的推广，这或许是数据科学中最基本且应用最广的工具。在不同设定下，其渐近性质（如大数定律与中心极限定理）已被建立，但其非渐近行为仍未被充分理解。本文中，我们证明了 Alexandrov 意义下具有非正曲率的度量空间中独立同分布随机变量的 barycenter 的有限样本集中不等式（即 Hoeffding 与 Bernstein 不等式的推广）。作为副产品，我们还获得了用于计算非正曲率空间中有限点集 barycenter 的随机在线算法的 PAC 保证。我们也讨论了将结果推广到可能具有正曲率的时空。
引用
@article{arxiv.2303.01144,
title = {Concentration of empirical barycenters in metric spaces},
author = {Victor-Emmanuel Brunel and Jordan Serres},
journal= {arXiv preprint arXiv:2303.01144},
year = {2023}
}