关于树的回文 Hosoya 多项式

一个具有 $n$ 个顶点、直径为 $D$ 的图 $G$ 若对所有 $k=0, 1, \dots, \left \lfloor{\frac{D}{2}}\right \rfloor$ 满足 $\alpha(G,k) = \alpha(G,D-k)$，其中 $\alpha(G,k)$ 为距离为 $k$ 的顶点无序对的数目，则称其为 $H$-回文的。量 $\alpha(G,k)$ 构成 Hosoya 多项式的系数。1999 年，Caporossi、Dobrynin、Gutman 和 Hansen 证明了恰有五棵偶直径 $H$-回文树，并猜想不存在奇直径的此类树。我们对二部图证明了该猜想。我们还构造了一个直径为 $6$ 的 $H$-回文树的无限族。