色数的多项式界。V. 排除半径为二的树与完全多部图

Gyárfás–Sumner 猜想称：对每棵森林 $H$ 和每个整数 $k$，若 $G$ 是 $H$-free 且不包含大小为 $k$ 的团，则其色数有界。（若图不包含 $H$ 的诱导拷贝，则称其为 $H$-free。）Kierstead 与 Penrice 对半径至多为二的树证明了该猜想，但除此之外该猜想仅对少数简单类型的森林已知成立。若我们排除完全二部子图而非团，则已知结果更多：Rödl 证明对每棵森林 $H$，若 $G$ 是 $H$-free 且不包含 $K_{t,t}$ 作为子图，则其色数有界。在早先与 Sophie Spirkl 合作的一篇论文中，我们加强了 Rödl 的结果，证明对每棵森林 $H$，色数的界可取为 $t$ 的多项式。在本文中，我们证明 Kierstead–Penrice 定理的一个相关加强形式，表明对每棵半径为二的树 $H$ 和每个整数 $d\ge 2$，若 $G$ 是 $H$-free 且不包含各部分基数为 $t$ 的完全 $d$-部图作为子图，则其色数至多为 $t$ 的多项式。