Gyárfás–Sumner猜想的变体：有向树与彩虹路

给定图的一个有限族 $\mathcal{F}$，若图 $G$ 不包含 $\mathcal{F}$ 中任何图作为子图，则称 $G$ 为“$\mathcal{F}$-free”（$\mathcal{F}$-自由）。若顶点染色图 $H$ 的任意两个顶点颜色均不同，则称 $H$ 为“rainbow”（彩虹）。给定整数 $s$ 与图的有限族 $\mathcal{F}$，令 $\ell(s,\mathcal{F})$ 表示最小整数，使得任意正常顶点染色的 $\mathcal{F}$-自由图 $G$ 在 $\chi(G)\geq\ell(s,\mathcal{F})$ 时包含 $s$ 个顶点上的诱导彩虹路。Scott 与 Seymour 证明了对于任意完全图 $K$ 均有 $\ell(s,K)$ 存在。N. R. Aravind 的一个猜想断言 $\ell(s,C_3)=s$。然而，使用 Scott 与 Seymour 的方法取 $K=C_3$ 所得到的 $\ell(s,C_3)$ 上界是超指数的。Gyárfás 与 Sárközy 证明了 $\ell(s,\{C_3,C_4\})=\mathcal{O}\big((2s)^{2s}\big)$。对 $r\geq 2$，我们证明 $\ell(s,K_{2,r})\leq (r-1)(s-1)(s-2)/2+s$，从而 $\ell(s,C_4)\leq\frac{s^2-s+2}{2}$。这显著改进了 Gyárfás 与 Sárközy 的界，并覆盖了更大类的图。我们调整证明以对更高围长的图得到强得多的上界：证明 $\ell(s,\{C_3,C_4,\ldots,C_{g-1}\})\leq s^{1+\frac{4}{g-4}}$，其中 $g\geq 5$。此外，在每种情形下，我们的结果均蕴含至少 $s!/2$ 条不同的 $s$ 顶点诱导彩虹路。在此过程中，我们得到了关于有向图相关问题的一些结果。对 $r\geq 2$，令 $\mathcal{B}_r$ 表示 $K_{2,r}$ 的如下定向：其中一个顶点的出度或入度为 $r$。我们证明，每个 $\mathcal{B}_r$-自由有向图 $G$ 在 $\chi(G)\geq (r-1)(s-1)(s-2)+2s+1$ 时，以及每个围长 $g\geq 5$ 且 $\chi(G)\geq 2s^{1+\frac{4}{g-4}}$ 的双核完美有向图 $G$，均包含每个 $s$ 顶点有向树作为诱导子图。