不含四阶与五阶彩虹团图的图

设 $\mathcal{G}_n^k=\{G_1,G_2,\ldots,G_k\}$ 为顶点集 $[n]$ 上图的多重集，$F$ 为边集 $F=\{e_1, e_2,\ldots, e_m\}$ 的固定图且 $k\ge m$。若对任意 $j\in[m]$ 均不存在 $\{i_1, i_2,\ldots, i_{m}\}\subseteq[k]$ 满足 $e_j\in G_{i_j}$，则称 ${\mathcal{G}_n^k}$ 是无彩虹 $F$ 的。令 $\ex_k(n,F)$ 为所有无彩虹 $F$ 多重集 ${\mathcal{G}_n^k}$ 中 $\sum_{i=1}^{k}|G_i|$ 的最大值。Keevash、Saks、Sudakov 和 Verstra"ete（2004）在 $n$ 充分大时确定了 $\ex_k(n, K_r)$ 的精确值，并猜想当 $n\ge Cr^2$（对某常数 $C$）时结果仍成立。近期，Frankl（2022）对 $r=3$ 及所有可能的 $n$ 值证实了该猜想。本文中，我们对 $r=4$ 和 $5$ 且 $n\ge r-1$ 的情形确定了 $\ex_k(n, K_r)$ 的精确值，即 Keevash、Saks、Sudakov 和 Verstra"ete 的猜想对 $r\in\{4,5\}$ 成立。