具有有界匹配数的图复形的Leray数
组合数学
2022-02-04 v2
摘要
给定顶点集V上的图G，G的非匹配复形𝒩ℳ_k(G)是满足匹配数ν(G')严格小于k的子图G'⊂G的族。作为将Linusson、Shareshian和Welker关于𝒩ℳ_k(K_n)和𝒩ℳ_k(K_{r,s})同伦类型的结果推广到任意图G的尝试，我们证明：(i) 𝒩ℳ_k(G)是(3k-3)-Leray的；(ii) 若G是二部图，则𝒩ℳ_k(G)是(2k-2)-Leray的。该结果通过分析复形𝒩ℳ_k(G)的非空面的链环的同调得到，其在所有维数d≥3k-4时消失，且当G为二部图时在所有维数d≥2k-3时消失。作为一个推论，我们有如下彩虹匹配定理，推广了Aharoni、Berger、Chudnovsky、Howard和Seymour的结果：设E_1,…,E_{3k-2}为图的非空边子集，且对每个i≠j有ν(E_i∪E_j)≥k。则E=⋃E_i具有大小为k的彩虹匹配。此外，当E为二部图的边集时，边集E_i的数量可减至2k-1。
引用
@article{arxiv.2003.11270,
title = {Leray numbers of complexes of graphs with bounded matching number},
author = {Andreas F. Holmsen and Seunghun Lee},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.11270},
year = {2022}
}