匹配的二部彩虹数

给定两个图 $G$ 和 $H$，令 $f(G,H)$ 表示最大的整数 $c$，使得存在一种用 $c$ 种颜色对 $G$ 的边着色的方式，使得 $G$ 的每个子图 $H$ 至少有两条同色边。等价地，任何用至少 $rb(G,H)=f(G,H)+1$ 种颜色对 $G$ 的边着色都包含一个 $H$ 的彩虹拷贝，其中边着色图的彩虹子图是指其任意两条边颜色均不相同。数 $rb(G,H)$ 称为{\it $H$ 相对于 $G$ 的彩虹数}，当 $G$ 为完全二部图 $K_{m,n}$ 时简称为{\it $H$ 的二部彩虹数}。Erd\H{o}s、Simonovits 和 S\'{o}s 证明了 $rb(K_n,K_3)=n$。2004 年，Schiermeyer 确定了所有 $n\geq k\geq 4$ 的彩虹数 $rb(K_n,K_k)$，以及所有 $k\geq 2$ 且 $n\geq 3k+3$ 的彩虹数 $rb(K_n,kK_2)$。在本文中，我们将确定所有 $k\geq 1$ 的彩虹数 $rb(K_{m,n},kK_2)$。