平面三角剖分中匹配彩虹数的改进上界

给定两个图 $G$ 和 $H$，关于 $G$ 的 $H$ 的{\it 彩虹数} $rb(G,H)$ 定义为最小整数 $k$，使得 $G$ 的任意 $k$-边染色包含一个彩虹 $H$，即 $H$ 的一个拷贝，其所有边颜色互不相同。分别用 $kK_2$ 表示大小为 $k$ 的匹配，用 $\mathcal {T}_n$ 表示所有 $n$ 阶平面三角剖分构成的类。在 [S. Jendrol$'$, I. Schiermeyer and J. Tu, Rainbow numbers for matchings in plane triangulations, Discrete Math. 331(2014), 158--164] 中，作者确定了 $2\leq k \le 4$ 时 $rb(\mathcal {T}_n, kK_2)$ 的精确值，并证明了当 $k \ge 5$ 时有 $2n+2k-9 \le rb(\mathcal {T}_n, kK_2) \le 2n+2k-7+2\binom{2k-2}{3}$。本文改进了上界，并证明当 $n \ge 2k$ 且 $k\ge 5$ 时 $rb(\mathcal {T}_n, kK_2)\le 2n+6k-16$。特别地，我们证明了当 $n \ge 11$ 时 $rb(\mathcal {T}_n, 5K_2)=2n+1$。