超立方体中的彩虹组合线

本文关于彩虹双色 Hales Jewett 数的问题，给出关于长度为 k 、维数为 n 的超立方体的反 Hales Jewett 数的一般界，记为 $ah(k, n).$ 本文提供的最佳一般界为：$(k-1)^n < ah(k, n) \leq \frac{(k-1)^2-2}{k-1}\cdot k^{n-1}+\frac{k+1}{k-1}$。本文还包括关于 $k = 2$ 和 $k = 3$ 的具体情况的论证，其中我们显示 $ah(2, n) = 2$ 且 $2^n < ah(3, n) \leq 3^{n-1} - 2\cdot3^{n-4} + 2$ 对所有自然数 n > 4 成立。对于 $n < 4$，我们找到了确切值：$ah(3, 1) = 3$、$ah(3, 2) = 5$、$ah(3, 3) = 11$。在 $n = 4$ 的情况下，我们发现 $23 < ah(3, 4) \leq 27$。