最大度数为二的图中的彩虹独立集

给定图$G$，令$f_{G}(n,m)$为最小整数$k$，使得$G$中每$k$个独立$n$-集均有一个彩虹$m$-集。令$\mathcal{D}(2)$为最大度不超过二的所有图组成的族。Aharoni等人（2019）猜想：（i）对所有$G\in\mathcal{D}(2)$有$f_G(n,n-1)=n-1$；（ii）对$t\ge 2n+1$有$f_{C_t}(n,n)=n$。Lv和Lu（2020）证明了当$t=2n+1$时猜想（ii）成立。本文中，我们证明猜想（ii）对$t\ge\frac{1}{3}n^2+\frac{44}{9}n$成立。令$C_t$为长度为$t$且顶点按顺时针排列的圈。若对任$1\le i\le n-1$有$a_{i+1}-a_i=2\pmod{t}$，则称$C_t$上有序集$I=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$为$C_t$的$2$-跳跃独立$n$-集。我们还证明，$C_t$的$2$-跳跃独立$n$-集族$\mathcal{F}$在$|\mathcal{F}|=n$时存在一个彩虹独立$n$-集，即若我们将$\mathcal{F}$限制在$2$-跳跃独立$n$-集族上则（ii）成立。此外，我们证明若猜想（ii）成立，则（i）对所有满足$c_e(G)\le 4$的$G\in\mathcal{D}(2)$成立，其中$c_e(G)$为$G$中与偶长圈同构的分支数。