Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理的彩虹 $r$-partite 版本

令 $f(n,r,k)$ 为最小的数，使得包含在 $\binom{[n]}{r}$ 中且大于 $f(n,r,k)$ 的每个超图都包含大小为 $k$ 的匹配；令 $g(n,r,k)$ 为最小的数，使得包含在 $r$-部 $r$-图 $[n]^{r}$ 中且大于 $g(n,r,k)$ 的每个超图都包含大小为 $k$ 的匹配。Erd\H{o}s-Ko-Rado 定理指出 $f(n,r,2)=\binom{n-1}{r-1}$~~($r \le \frac{n}{2}$)，并且容易证明 $g(n,r,k)=(k-1)n^{r-1}$。启发本文的猜想是：如果 $F_1,F_2,\ldots,F_k\subseteq \binom{[n]}{r}$ 的大小都大于 $f(n,r,k)$，或者 $F_1,F_2,\ldots,F_k\subseteq [n]^{r}$ 的大小都大于 $g(n,r,k)$，那么存在彩虹匹配，即选择不相交的边 $f_i \in F_i$。在本文中，我们主要处理猜想的第二部分，并证明对于 $r\le 3$ 成立。\vspace{.1cm} 我们还证明了对每个 $r$ 和 $k$，存在 $n_0=n_0(r,k)$ 使得猜想的 $r$-部版本在 $n>n_0$ 时成立。