3-部3-一致超图中的彩虹完美匹配

设 $m,n,r,s$ 为非负整数，满足 $n\ge m=3r+s$ 且 $1\leq s\leq 3$。令 $$\delta(n,r,s)=\left\{\begin{array}{ll} n^2-(n-r)^2 &\text{若}\ s=1 , \\ [5pt] n^2-(n-r+1)(n-r-1) &\text{若}\ s=2,\\ [5pt] n^2 - (n-r)(n-r-1) &\text{若}\ s=3. \end{array}\right.$$ 我们证明存在常数 $n_0 > 0$，使得若 $F_1,\ldots, F_n$ 是每个分部类具有 $n\ge n_0$ 个顶点的 3-部 3-一致超图，且对 $i \in [n]$，$F_i$ 的最小顶点度至少为 $\delta(n,r,s)+1$，则 $\{F_1,\ldots,F_n\}$ 存在彩虹完美匹配。这推广了 Lo 和 Markström 关于 3-部 3-一致超图中完美匹配存在性的顶点度阈值的结果。在本证明中，我们利用 Aharoni 等人得到的分数彩虹匹配理论来寻找边不相交的分数完美匹配。