拉丁方的彩虹匹配与部分横截

在本文中，我们考虑properly edge-colored graphs（即同色边不共享端点，因此每个颜色类都是一个匹配）。如果一个匹配的边具有不同的颜色，则称其为\it rainbow\rm 匹配。图的最小度记为 $\delta(G)$。我们证明了顶点数 $|V(G)|\ge 4\delta(G)-3$ 的 properly edge colored graphs $G$ 存在大小为 $\delta(G)$ 的彩虹匹配，这为 Wang 最近提出的一个问题提供了目前已知的最佳估计。由于显然至少需要 $2\delta(G)$ 个顶点才能保证存在大小为 $\delta(G)$ 的彩虹匹配，我们研究了当 $|V(G)|\ge 2\delta(G)$ 时的情况。我们证明了任何顶点数 $|V(G)|\ge 2\delta$ 的 properly edge colored graph $G$ 都包含一个大小至少为 $\delta - 2\delta(G)^{2/3}$ 的彩虹匹配。这一结果扩展了（尽管误差项较弱）一个众所周知的结论：完全二部图 $K_{n,n}$ 的因子分解存在大小为 $n-o(n)$ 的彩虹匹配，或者等价地，每个 $n$ 阶拉丁方都存在大小为 $n-o(n)$ 的部分横截（Ryser-Brualdi 猜想的渐近版本）。在此方向上，我们还证明了每个 $n$ 阶拉丁方都存在一个大小为 $n-o(n)$ 的{\em 无环部分横截}。