彩虹匹配大小的更优界

Aharoni 和 Howard 猜想：对于满足 $n\ge k$ 且 $n\ge t$ 的正整数 $n,k,t$，若 $F_1,\ldots, F_t\subseteq {[n]\choose k}$ 且对 $i\in [t]$ 有 $|F_i|>{n\choose k}-{n-t+1\choose k}$，则存在 $e_i\in F_i$（$i\in [t]$）使得 $e_1,\ldots,e_t$ 两两不交。Huang、Loh 和 Sudakov 在 $t<n/(3k^2)$ 时证明了该猜想。在本文中，我们证明该猜想在 $t\le n/(2k)$ 且 $n$ 充分大时成立。