超图中彩虹匹配的尖锐界

假设我们在某个 $r$-一致超图中给定大小为 $t$ 的匹配 $M_1,....,M_N$，并将每个匹配视为具有不同的颜色。为使总能找到一个大小为 $t$ 的彩虹匹配，$N$ 需要多大（关于 $t$ 和 $r$）？该问题最初由 Aharoni 和 Berger 提出，此后被多位不同作者研究。例如，Alon 发现了其与加性组合学中 Erd\H{o}s--Ginzburg--Ziv 问题的一个有趣联系，这给出了 $N$ 的某些下界。对于任意固定的一致性 $r \ge 3$，我们在依赖于 $r$ 的常数因子范围内回答了该问题，表明答案为 $t^{r}$ 的数量级。此外，对于任意固定的 $t$ 和大的 $r$，我们在低阶因子范围内确定了答案。我们还证明了在底层超图假定为 $r$-部时的类似结果。我们的结果解决了 Alon 以及 Glebov-Sudakov-Szab\'{o} 的问题。