关于彩虹匹配的稳定性

我们证明，对任意整数 $k\ge 1$，存在整数 $t_0(k)$，使得对满足 $t>t_0(k)$、$\max\{k_1, \ldots, k_{t+1}\}\le k$ 且 $n > 2k(t+1)$ 的整数 $t, k_1, \ldots, k_{t+1}, n$，如下结论成立：若 $F_i \subseteq {[n]\choose k_i}$ 且对所有 $i \in [t+1]$ 有 $|F_i|> {n\choose k_i}-{n-t\choose k_i} - {n-t-k \choose k_i-1} + 1$，则要么 $\{F_1,\ldots, F_{t+1}\}$ 存在一个大小为 $t+1$ 的彩虹匹配，要么存在 $W\in {[n]\choose t}$ 使得 $W$ 是全部 $i\in [t+1]$ 下 $F_i$ 的一个顶点覆盖。这可视为经典 Hilton-Milner 定理的一个彩虹非均匀推广。我们还证明同样结论对每个 $t$ 及 $n > 2k^3t$ 成立，从而将 Frankl 和 Kupavskii 近期关于匹配的稳定性和结果推广到彩虹匹配。