长彩虹等差数列

定义 $T_k$ 为最小的 $t\in \mathbb{N}$，使得对每个 $n\in \mathbb{N}$，在 $[tn]$ 的等基数 $t$-染色中均存在长度为 $k$ 的彩虹等差数列。Jungić、Licht (Fox)、Mahdian、Nesetril 与 Radoicić 证明了 $\lfloor{\frac{k^2}{4}\rfloor}\le T_k$。我们几乎弥合了上下界之间的差距，证明了 $T_k \le k^2e^{(\ln\ln k)^2(1+o(1))}$。Conlon、Fox 与 Sudakov 独立给出了更强的结论：$T_k=O(k^2\log k)$。