稠密图类上的彩虹独立集

给定图中独立集的一个族 $\mathcal{I}$，彩虹独立集是一个独立集 $I$，使得存在一个单射 $\phi\colon I\to \mathcal{I}$，其中对每个 $v\in I$，$v$ 包含在 $\phi(v)$ 中。Aharoni、Briggs、J. Kim 和 M. Kim [Rainbow independent sets in certain classes of graphs. arXiv:1909.13143] 确定了对于各种图类 $\mathcal{C}$ 是否满足如下性质：对每个 $n$，存在 $N=N(\mathcal{C},n)$，使得 $\mathcal{C}$ 中图的每个由 $N$ 个大小为 $n$ 的独立集构成的族都包含一个大小为 $n$ 的彩虹独立集。在本文中，我们补充了两个满足该性质的稠密图类，即邻域多样性有界的图类以及有界膨胀类中图的 $r$ 次幂类。