给定阶数和独立数的图中极大独立集的最小数目

设$MIS(G)$为图$G$中所有极大独立集的集合,并设$mis(G)=|MIS(G)|$。在本文中,我们证明对于任何具有$n$个顶点和独立数$\alpha$的树$T$,有$$mis(T)\geq f(n-\alpha),$$并且对于任何具有$n$个顶点和独立数$\alpha$的单圈图$G$,有\begin{align*} mis(G)\geq \begin{cases} 2, & \text{if} \ n=4\ \text{and}\ \alpha=2, 3, & \text{if} \; \alpha=n-2 \; \text{and} \; n\neq4, 2f(n-\alpha), & \text{if} \; n\geq 5\; \text{and}\; \lceil \frac{n}{2} \rceil \leq \alpha < n-2, f(n-\alpha+2)-f(n-\alpha-3), &\text{if} \; n\geq 5, \;\text{and}\ n \; \text{is odd}, \; \text{and} \; \alpha = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor, \end{cases} \end{align*} 其中$f(n)$表示第$n$个斐波那契数。此外,我们还证明了上述不等式是紧的。