给定独立数下谱半径最小的图

令 $\mathbb{G}_{n,\alpha}$ 为阶数为 $n$ 且独立数为 $\alpha$ 的连通图集合。给定 $k=n-\alpha$，在 $\mathbb{G}_{n,\alpha}$ 中具有最小谱半径的图被称为极小化图。Stevanović 在经典著作 [D. Stevanović, Spectral Radius of Graphs, Academic Press, Amsterdam, 2015.] 第 96 页中指出，确定 $\mathbb{G}_{n,\alpha}$ 中的极小化图似乎是一个难题。最近，Lou 和 Guo 在 \cite{Lou} 中证明了，若 $\alpha\ge\lceil\frac{n}{2}\rceil$，则 $\mathbb{G}_{n,\alpha}$ 的极小化图必为一棵树。本文进一步详细给出了极小化图的结构特征，并为其提供了一个构造定理。因此，对于任意给定的 $k=n-\alpha\le \frac{n}{2}$，我们从理论上完全确定了 $\mathbb{G}_{n,\alpha}$ 中的极小化图及其谱半径。作为一个应用，我们确定了 $\alpha=n-1,n-2,n-3,n-4,n-5,n-6$ 时 $\mathbb{G}_{n,\alpha}$ 中的所有极小化图及其谱半径，前四个结果在 \cite{Xu,Lou} 中已知，后两个是新的。