给定匹配数的图的最小谱半径

Brualdi-Solheid 问题询问对于给定的图族，哪类图能达到极值（最大或最小）谱半径。本文探讨 $\mathcal{G}_{n,\beta}$ 的 Brualdi-Solheid 问题，$\mathcal{G}_{n,\beta}$ 是阶为 $n$ 且匹配数为 $\beta$ 的图族，旨在识别其谱极小图，即最小化谱半径 $\rho(G)$ 的图。我们引入了“拟邻接”关系的新概念，为 $\mathcal{G}_{n,\beta}$ 中的树开发了统一的结构分类框架，阐明了结构性质并提供了生成固定 $\beta$ 的树的构造性方法。通过证明 $\mathcal{G}_{n,\beta}$ 中所有谱极小图均为树，我们进一步缩小了对极值图的搜索范围。此外，我们将该框架应用于 $\beta=2,3,4$ 的代表性情形，通过涉及与 $n$ 相关的参数的显式结构公式获得了极小化解。