关于 $F$-free 图中的度幂与星计数

给定一个正整数 $r$ 和一个具有度序列 $d_1,\dots,d_n$ 的图 $G$，我们定义 $e_r(G)=\sum_{i=1}^n d_i^r$。我们令 $\mathrm{ex}_r(n,F)$ 为当 $G$ 是一个 $n$ 顶点 $F$-free 图时 $e_r(G)$ 的最大值。我们证明，如果 $F$ 有一条色临界边，则对于一个完全 $(\chi(F)-1)$-部图 $G$，有 $\mathrm{ex}_r(n,F)=e_r(G)$（这对于团和 $C_5$ 是已知的）。我们获得了其他几个非二部图的精确结果，并确定了 $r\ge 3$ 时的 $\mathrm{ex}_r(n,C_4)$。我们还给出了多个已知结果的简单证明。我们的关键观察是与 $\mathrm{ex}(n,S_r,F)$ 的联系，后者是 $n$ 顶点 $F$-free 图中 $S_r$ 的最大副本数，其中 $S_r$ 是具有 $r$ 片叶子的星图。我们探索了这种联系，并应用研究 $\mathrm{ex}(n,S_r,F)$ 的方法来证明我们的结果。我们还获得了关于 $\mathrm{ex}(n,S_r,F)$ 的几个新结果。