不含$C_5$图的度幂

设$G$是一个度序列为$d_1,d_2,\ldots,d_n$的图。给定正整数$p$，记$e_p(G)=\sum_{i=1}^n d_i^p$。Caro和Yuster引入了关于$e_p(G)$的Turán型问题：给定整数$p$，如果$G$不包含特定类型的子图，$e_p(G)$能有多大？他们分别针对子图类型为$r+1$阶团和偶圈的情况得到了一些结果。记$ex_p(n,H)$为所有不含子图$H$的$n$阶图$G$中$e_p(G)$的最大值。显然，$ex_1(n,H)=2ex(n,H)$，其中$ex(n,H)$表示经典Turán数。本文考虑$ex_p(n, C_5)$，并证明对于任意正整数$p$和足够大的$n$，存在常数$c=c(p)$使得以下结论成立：如果某个不含$C_5$的$n$阶图$G$满足$ex_p(n, C_5)=e_p(G)$，那么$G$是一个完全二部图，其中一个顶点类的大小为$cn+o(n)$，另一个为$(1-c)n+o(n)$。