$(t,p)$-范数下的非退化 Turán 问题

给定整数 $r > t \ge 1$ 和实数 $p > 0$，$r$-图 $\mathcal{H}$ 的 $(t,p)$-范数 $\left\lVert \mathcal{H} \right\rVert_{t,p}$ 定义为对所有 $t$-子集 $T \subseteq V(\mathcal{H})$ 的度数 $d_{\mathcal{H}}(T)$ 的 $p$ 次幂之和。我们对确定 $\mathrm{ex}_{t,p}(n,\mathcal{F})$ 的 Turán 型问题进行了系统研究，其中 $\mathrm{ex}_{t,p}(n,\mathcal{F})$ 是所有不含 $\mathcal{F}$ 的 $n$ 顶点 $r$-图 $\mathcal{H}$ 的 $\left\lVert \mathcal{H} \right\rVert_{t,p}$ 的最大值。我们建立了 $r$-图的 $(t,p)$-范数的几个基本性质，从而能够从 ~\cite{CL24} 中最近建立的框架推导出对确定 $\mathrm{ex}_{t,p}(n,\mathcal{F})$ 和证明相应稳定性有用的通用定理。我们确定了 $\mathrm{ex}_{t,p}(n,H_{F}^{r})$ 对所有可行 $(r,t,p)$ 组合以及所有色数大于 $r$ 的图 $F$ 的渐近值，其中 $H_{F}^{r}$ 表示 $F$ 的扩张。当 $F$ 是边临界的且 $p \ge 1$ 时，我们建立了强稳定性，并确定了所有足够大的 $n$ 的 $\mathrm{ex}_{t,p}(n,H_{F}^{r})$ 的精确值。这些结果推广了 Erdős--Stone--Simonovits、Andrásfai--Erdős--Sós、Erdős--Simonovits 的经典定理以及 Mubayi 的一个经典结果。对于 $3$-一致广义三角形 $F_5$，我们确定了所有 $p \ge 1$ 的 $\mathrm{ex}_{2,p}(n,F_5)$ 的精确值，以及所有 $p \in [1/2,1]\cup \{k^{-1}: k \in 6\mathbb{N}^{+}+\{0,2\}\}$ 的渐近值。这推广了 Bollobás、Frankl--Füredi 的经典定理以及 Balogh--Clemen--Lidický 的一个近期结果。我们的证明利用了图可诱导性问题、Steiner 三元系以及 Liu--Mubayi 引入的可行区域问题的结果。