退化 Turán 问题的 p 范数相位转变

对于正实数 $p$，图 $G$ 的 $p$ 范数 $\left\lVert G \right\rVert_p$ 为所有顶点度的 $p$ 次方之和。我们研究 $F$-免费图在 $n$ 个顶点上的最大 $p$ 范数 $\mathrm{ex}_{p}(n,F)$。F"{u}redi 和 K"{u}ndgen 证明，对于每个二分图 $F$，存在阈值 $p_F$，使得当 $p < p_{F}$ 时，$\mathrm{ex}_{p}(n,F)$ 的数量级由伪随机构造决定；而当 $p > p_{F}$ 时，由星形构造决定，这假设了关于 $\mathrm{ex}(n,F)$ 增长率的温和条件。我们的论文主要贡献在于将该结果推广到超图。此外，在图的情况下，我们的证明不同于 \cite{FK06}，具有在 $p > p_{F}$ 时得到正确常数因子的优势。当 $p = p_F$ 时，F"{u}redi 和 K"{u}ndgen 证明了 $\mathrm{ex}_{p}(n,F)$ 的一般上界，仅高出 $\log n$ 因子，且 conjectured 此因子是不必要的。我们为几个经典二分图确认了此猜测，包括单侧度受限图和短偶环族。