禁用扫帚图中的度数幂与星图数量

给定一个度序列为 $d_1,\dots, d_n$ 的图 $G$ 和一个正整数 $r$，令 $e_r(G)=\sum_{i=1}^n d_i^r$。我们用 $\mathrm{ex}_r(n,F)$ 表示 $n$ 顶点 $F$-free 图 $G$ 中 $e_r(G)$ 的最大值，用 $\mathrm{ex}(n,S_r,G)$ 表示 $n$ 顶点 $F$-free 图中星图 $S_r$ 的最大数量。扫帚图 $B(\ell,s)$ 是通过在 $\ell$ 顶点路径的倒数第二个顶点 $v$ 上添加 $s$ 个新叶子而得到的图。我们确定了对于 $r\ge 2$、任意 $\ell,s$ 以及充分大的 $n$ 时的 $\mathrm{ex}_r(n,B(\ell,s))$，从而证明了 Lan、Liu、Qin 和 Shi 的猜想。我们还确定了对于 $r\ge 2$、任意 $\ell,s$ 以及充分大的 $n$ 时的 $\mathrm{ex}(n,S_r,B(\ell,s))$。