图中度数的平方和

设$\G(v,e)$为所有具有$v$个顶点和$e$条边的简单图的集合，并设$P_2(G)=\sum d_i^2$表示图$G$的顶点度数$d_1, >..., d_v$的平方和。已知对于$G \in \G(v,e)$，$P_2(G)$的最大值出现在$\G(v,e)$中的一个或两个特殊图上——\qs 图或 \qc 图。对于每一对$(v,e)$，我们确定了这两个图中哪一个具有更大的$P_2(G)$值。我们还确定了所有使得\qs 图和 \qc 图的$P_2(G)$值相等的$(v,e)$对。除了\qs 图和 \qc 图之外，我们还找到了$\G(v,e)$中所有达到$P_2(G)$最大值的其他图。此外，还考察了先前作者提出的密度问题。