关于一致超树的特性多项式与匹配多项式之间的关系

超树是无圈的连通超图。进一步，若超树还是 $r$-一致的，则称为 $r$-树。注意 2-树就是通常的树。一个经典结论指出，对任意 2-树 $T$，若其特征多项式为 $\phi_T(\lambda)$、匹配多项式为 $\varphi_T(\lambda)$，则有 $\phi_T(\lambda)=\varphi_T(\lambda)$。更一般地，设 $\mathcal{T}$ 是大小为 $m$ 的 $r$-树且 $r\geq2$。本文将上述经典关系推广到 $r$-树，并建立 $$\phi_{\mathcal{T}}(\lambda)=\prod_{H \sqsubseteq \mathcal{T}}\varphi_{H}(\lambda)^{a_{H}},$$ 其中乘积取遍 $\mathcal{T}$ 的所有连通子图 $H$，因子 $\varphi_{H}(\lambda)$ 的指数 $a_{H}$ 可写为 $$a_H=b^{m-e(H)-|\partial(H)|}c^{e(H)}(b-c)^{|\partial(H)|},$$ 这里 $e(H)$ 是 $H$ 的大小，$\partial(H)$ 是 $H$ 的边界，且 $b=(r-1)^{r-1}, c=r^{r-2}$。特别地，当 $r=2$ 时，上述对应退化为普通树的经典结论。此外，我们解决了 Clark-Cooper [{\em Electron. J. Combin.}, 2018] 的一个猜想，并证明对 $r$-树 $\mathcal{T}$（$r\geq3$）的任意子图 $H$，$\varphi_H(\lambda)$ 整除 $\phi_{\mathcal{T}}(\lambda)$；并且当 $r\geq 4$ 或 $r=3$ 时 $H$ 连通，还有 $\phi_H(\lambda)$ 整除 $\phi_{\mathcal{T}}(\lambda)$。此外，对 $H$ 为 3-树的不连通子图的情形给出了反例。