基于离散随机变量设定精确求解 E. Sparre Andersen 模型中的生存概率

本文中，我们针对更新风险模型中生成随机变量的若干假设，提出了一种简化 Pollaczek-Khinchine 终极时间生存（或破产）概率计算公式的方法。更确切地说，我们证明了分布函数 $$\mathbb{P}\left(\sup_{n\geqslant1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-c\theta_i)<u\right),\,u\in\mathbb{N}_0$$ 可通过概率生成函数 $G_{X-c\theta}(s)=1$ 的根、期望 $\mathbb{E}(X-c\theta)$ 以及 $X-c\theta$ 的概率质量函数来表示。我们假设随机变量 $X_1,\,X_2,\,\ldots$ 与 $c\theta_1,\,c\theta_2,\,\ldots$ 分别是 $X$ 与 $c\theta$ 的独立同分布副本，$c>0$，$X$ 与 $c\theta$ 为独立的非负整数值随机变量，且 $\theta$ 的支撑集有限。当所述随机变量服从某些特定分布时，我们给出了所证理论结论的若干数值输出。