平移离散随机游动与 Vandermonde 矩阵的分布

在本工作中，我们建立了终极时间生存概率 $\varphi(u+1)$ 的母函数，其中 $$\varphi(u)=\mathbb{P}\left(\sup_{n\geqslant 1}\sum_{i=1}^{n}\left(X_i-\kappa\right)<u\right)$$ 且 $u\in\mathbb{N}_0,\,\kappa\in\mathbb{N}$，随机游动 $\left\{\sum_{i=1}^{n}X_i,\,n\in\mathbb{N}\right\}$ 由独立同分布的随机变量 $X_i$ 构成，这些变量非负且取整数值。我们还通过某些多项式的根给出了 $\varphi(u)$ 的表达式。基于所证明的理论结论，当随机变量 $X_i$ 服从 Bernoulli、Geometric 及其他一些分布时，我们给出了关于 $\varphi(u)$ 及其母函数表达式的若干例子。