关于外力对远距离不可压缩流体运动的影响

我们研究了具有小且局域化数据及外力 $f$ 的 $\R^d$ 中不可压缩 Navier--Stokes 流。对于大 $|x|$，我们建立了形式为 \hbox{$c_t|x|^{-d}\le |u(x,t)|\le c'_t|x|^{-d}$} 的点态估计，其中只要 $\int_0^t\!\!\int f(x,s)\,dx\,ds\not=\vec 0$，就有 $c_t>0$。这与 [Brandolese, Vigneron, J. Math. Pures Appl. 88, 64--86 (2007)] 中研究的无外力 Navier--Stokes 方程情形形成鲜明对比，后者的空间渐近行为为 $|u(x,t)|\simeq C_t|x|^{-d-1}$。特别地，这表明具有非零均值的外力，无论其多么小且局域化（例如在时空上紧支撑），都会增加远场中 {\it 所有时刻 $t$} 和 \emph{所有点 $x$} 处的流体粒子速度。作为我们对点态行为分析的一个应用，我们推导了强解的加权 $L^p$-范数的 sharp 上下界，通过考虑更大（事实上是最优）的一类权函数，扩展了 [Bae, Brandolese, Jin, Asymptotic behavior for the Navier--Stokes equations with nonzero external forces, Nonlinear analysis, doi:10.1016/j.na.2008.10.074] 中针对弱解获得的结果。