脆性断裂变分相场模型中的罚方法研究

不可逆演化是 Francfort 与 Marigo (1998) 的断裂变分方法及其正则化对应形式（Bourdin、Francfort 与 Marigo，2000、2007 和 2008，通常称为脆性断裂相场模型）的核心概念之一，也是其实现中的挑战之一。为防止断裂愈合而对裂纹相场施加的不可逆性导致了一个约束极小化问题，其最优性条件由变分{\em 不等式}给出。在我们的研究中，不可逆性通过罚方法处理。只要罚常数调节得当，罚化公式就是原问题的一个良好近似，其优点在于所导出的基于{\em 等式}的弱问题使算法处理大为简化。我们提出了一种解析过程以推导{\em 最优}罚常数，更确切地说，是其{\em 下界}，该下界可保证对裂纹相场不可逆性的足够精确强制。我们的主要工具是最优相场剖面的概念以及 $\Gamma$-收敛结果。结果表明，该显式下界是两个公式参数（断裂韧度与正则化长度尺度）的函数，但与问题设置（几何、边界条件等）及公式组成要素（退化函数、拉压分解等）无关。最优罚化公式在两个基准问题上进行了测试，其中包括一个具有解析解的问题。我们还将所得结果与采用基于 Miehe 等人 (2010) 历史场概念的替代不可逆性技术所获得的结果进行了比较。