带乘性核的Smoluchowski方程的整体时间自相似解

我们研究带乘性核 $K(x,y)=(xy)^{s}$（$s<\frac{1}{2}$）的Smoluchowski凝聚方程的自相似解(SS)。当 $s<0$ 时，SS由具有不同渐近行为的三个区域组成。适当的匹配给出了由Gamma分布尾部、由对数正态分布描述的中间区域以及解在原点附近极快衰减至零的区域构成的全局解描述。当 $s\in \left( 0,\frac{1}{2}\right)$ 时，SS在原点无界。它也呈现三个区域：Gamma分布尾部、类幂律（或帕累托分布）衰减的中间区域以及发生奇点的近原点区域。最后，Smoluchowski方程的完整数值模拟用于验证我们的理论结果并展示解向自相似区域的收敛。