带源项的凝聚方程导致反常自相似

我们研究了带小簇源项的 Smoluchowski 凝聚方程的长时间行为。该源项使系统偏离平衡态，导致丰富多样的长时间行为，包括反常自相似。凝聚核为非凝胶化、齐次，齐次度 $\gamma \leq -1$，且在 $y \ll x$ 时表现为 $x^{\gamma+\lambda} y^{-\lambda}$，其中 $\gamma+2\lambda > 1$。我们的分析表明，解的长时间行为依赖于参数 $\gamma$ 和 $\lambda$。更确切地说，我们认为长时间行为是自相似的，尽管自相似解的标度依赖于 $\gamma+\lambda$ 的符号以及 $\gamma=-1$ 还是 $\gamma < -1$。在所有这些情形中，标度不同于先前在 $\gamma+2\lambda <1$ 或 $\gamma+2\lambda \geq 1, \gamma >-1$ 时所得到的通常标度。在论文最后部分，我们提出了一些猜想，支持在临界情形 $\gamma+2\lambda=1, \gamma \leq -1$ 下自相似假设也成立。